Тип 17 № 2071 Коля и Оля не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 4. Коля делает так: \(\frac{6}{8} = \frac{6-3}{8-4} = \frac{3}{4}\). Оля считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Оля делает так: \(\frac{4}{6} = \frac{4-2}{6-3} = \frac{2}{3}\). Коля и Оля (не обязательно по очереди) пятнадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2019}{2018}\) по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1968. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Давайте рассмотрим, как Коля и Оля изменяют дробь, и попробуем найти закономерность. Коля: \(\frac{a}{b} \rightarrow \frac{a-3}{b-4}\) Оля: \(\frac{a}{b} \rightarrow \frac{a-2}{b-3}\) Пусть Коля выполнил $x$ операций, а Оля $y$ операций. Тогда, после этих операций, числитель уменьшится на $3x + 2y$, а знаменатель на $4x + 3y$. Исходная дробь: \(\frac{2019}{2018}\). После $x$ операций Коли и $y$ операций Оли дробь стала: \[\frac{2019 - (3x + 2y)}{2018 - (4x + 3y)}\] По условию задачи, знаменатель получившейся дроби равен 1968: \[2018 - (4x + 3y) = 1968\] \[4x + 3y = 2018 - 1968 = 50\] Нужно найти целые неотрицательные решения для $x$ и $y$. Если \(x = 0\), то \(3y = 50\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 1\), то \(3y = 50 - 4 = 46\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 2\), то \(3y = 50 - 8 = 42\), тогда \(y = 14\). Если \(x = 3\), то \(3y = 50 - 12 = 38\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 4\), то \(3y = 50 - 16 = 34\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 5\), то \(3y = 50 - 20 = 30\), тогда \(y = 10\). Если \(x = 6\), то \(3y = 50 - 24 = 26\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 7\), то \(3y = 50 - 28 = 22\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 8\), то \(3y = 50 - 32 = 18\), тогда \(y = 6\). Если \(x = 9\), то \(3y = 50 - 36 = 14\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 10\), то \(3y = 50 - 40 = 10\), что не имеет целого решения для $y$. Если \(x = 11\), то \(3y = 50 - 44 = 6\), тогда \(y = 2\). Если \(x = 12\), то \(4x > 50\), поэтому больше нет смысла проверять. Мы нашли 4 решения: \((2, 14), (5, 10), (8, 6), (11, 2)\). Теперь найдем числитель новой дроби для каждого из этих решений: 1. \(x = 2, y = 14\): \[2019 - (3 \cdot 2 + 2 \cdot 14) = 2019 - (6 + 28) = 2019 - 34 = 1985\] \[\frac{1985}{1968}\] 2. \(x = 5, y = 10\): \[2019 - (3 \cdot 5 + 2 \cdot 10) = 2019 - (15 + 20) = 2019 - 35 = 1984\] \[\frac{1984}{1968}\] 3. \(x = 8, y = 6\): \[2019 - (3 \cdot 8 + 2 \cdot 6) = 2019 - (24 + 12) = 2019 - 36 = 1983\] \[\frac{1983}{1968}\] 4. \(x = 11, y = 2\): \[2019 - (3 \cdot 11 + 2 \cdot 2) = 2019 - (33 + 4) = 2019 - 37 = 1982\] \[\frac{1982}{1968}\] Таким образом, возможные числители: 1985, 1984, 1983, 1982. **Ответ: 1985, 1984, 1983 или 1982.**