18. Тип 17 № 2071 Коля и Оля не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля дума- ет, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 4. Коля делает так: \frac{6}{8} = \frac{6-3}{8-4} = \frac{3}{4}. Оля считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Оля делает так: \frac{4}{6} = \frac{4-2}{6-3} = \frac{2}{3}. Коля и Оля (не обязательно по очереди) пятнадцать раз «сократили» дробь \frac{2019}{2018} по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1968. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем эту интересную задачу. Коля и Оля изобрели свои собственные способы "сокращения" дробей, и нам нужно понять, как они применили эти методы 15 раз к дроби \(\frac{2019}{2018}\), чтобы в итоге получить дробь со знаменателем 1968. **Решение:** 1. **Определим действия Коли и Оли:** * Коля: из числителя вычитает 3, из знаменателя вычитает 4. Если \(\frac{a}{b}\) – дробь, то Коля делает \(\frac{a-3}{b-4}\). * Оля: из числителя вычитает 2, из знаменателя вычитает 3. Если \(\frac{a}{b}\) – дробь, то Оля делает \(\frac{a-2}{b-3}\). 2. **Пусть Коля выполнил операцию *x* раз, а Оля - *y* раз.** Тогда общее количество операций равно 15: \(x + y = 15\). 3. **Выразим знаменатель после 15 операций.** Начальный знаменатель – 2018. После *x* операций Коли и *y* операций Оли, знаменатель будет равен: \(2018 - 4x - 3y = 1968\) 4. **Решим систему уравнений:** У нас есть два уравнения: \( \begin{cases} x + y = 15 \\ 2018 - 4x - 3y = 1968 \end{cases} \) Преобразуем второе уравнение: \(2018 - 4x - 3y = 1968\) \(4x + 3y = 2018 - 1968\) \(4x + 3y = 50\) Теперь у нас система: \( \begin{cases} x + y = 15 \\ 4x + 3y = 50 \end{cases} \) Из первого уравнения выразим *y*: \(y = 15 - x\) Подставим во второе уравнение: \(4x + 3(15 - x) = 50\) \(4x + 45 - 3x = 50\) \(x = 50 - 45\) \(x = 5\) Теперь найдем *y*: \(y = 15 - x = 15 - 5 = 10\) Значит, Коля выполнил операцию 5 раз, а Оля - 10 раз. 5. **Найдем числитель после 15 операций.** Начальный числитель – 2019. После *x* операций Коли и *y* операций Оли, числитель будет равен: \(2019 - 3x - 2y\) Подставим значения *x* и *y*: \(2019 - 3(5) - 2(10) = 2019 - 15 - 20 = 2019 - 35 = 1984\) **Ответ:** Числитель получившейся дроби равен **1984**.