13. Тип 11 № 12978 На координатной плоскости даны точки А и прямая l (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой l.

Из рисунка видно, что координаты точки A равны (3; 1).

Прямая l проходит через начало координат и имеет угол наклона 135 градусов, значит, её уравнение y = -x.

Чтобы найти точку, симметричную точке A относительно прямой l, нужно:

1. Провести прямую, перпендикулярную прямой l и проходящую через точку A.
2. Найти точку пересечения этих прямых.
3. Найти координаты точки, которая находится на таком же расстоянии от точки пересечения, как и точка A.

Уравнение прямой, перпендикулярной y = -x и проходящей через (3; 1), будет y = x - 2.

Найдем точку пересечения прямых y = -x и y = x - 2:

\[-x = x - 2\]

\[2x = 2\]

\[x = 1\]

\[y = -1\]

Точка пересечения имеет координаты (1; -1).

Обозначим координаты точки, симметричной точке A, как (x; y). Тогда точка пересечения должна быть серединой отрезка между точками A и (x; y):

\[\frac{3 + x}{2} = 1\]

\[\frac{1 + y}{2} = -1\]

Решаем первое уравнение:

\[3 + x = 2\]

\[x = -1\]

Решаем второе уравнение:

\[1 + y = -2\]

\[y = -3\]

Координаты точки, симметричной точке A относительно прямой l, равны (-1; -3).

Сумма координат этой точки равна -1 + (-3) = -4.

Ответ: -4

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что прямая l перпендикулярна отрезку между точками A и найденной симметричной точкой, и что середина этого отрезка лежит на прямой l.

Уровень Эксперт: Симметрия относительно прямой l означает, что прямая l является перпендикулярным биссектором отрезка, соединяющего A и её симметричную точку.