5. Тип 8 № 2162 На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и Д. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 32°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим $$\angle ABC = \beta = 32^\circ$$. Тогда $$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то
$$2\alpha + \beta = 180^\circ$$
$$2\alpha = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$
$$\alpha = 74^\circ$$

Так как AD = AC, то треугольник ADC - равнобедренный, значит $$\angle ADC = \angle ACD$$. Обозначим $$\angle ADC = \angle ACD = x$$.

Тогда $$\angle CAD = 180^\circ - 2x$$.

Поскольку углы $$\angle BAC$$ и $$\angle CAD$$ - смежные, то $$\angle BAC + \angle CAD = 180^\circ$$.
$$74^\circ + 180^\circ - 2x = 180^\circ$$
$$254^\circ - 2x = 180^\circ$$
$$2x = 74^\circ$$
$$x = 37^\circ$$

Ответ: 37°