12. Тип 10 № 11141 Найдите значение выражения \frac{x^6y + xy^6}{5(3y - 2x)} + \frac{2(2x - 3y)}{x^5 + y^5} при х=\frac{1}{8} и у=-8.

Решение:

Преобразуем первое слагаемое:

\[ \frac{x^6y + xy^6}{5(3y - 2x)} = \frac{xy(x^5 + y^5)}{5(3y - 2x)} \]

Преобразуем второе слагаемое:

\[ \frac{2(2x - 3y)}{x^5 + y^5} = -\frac{2(3y - 2x)}{x^5 + y^5} \]

Тогда все выражение:

\[ \frac{xy(x^5 + y^5)}{5(3y - 2x)} - \frac{2(3y - 2x)}{x^5 + y^5} = \frac{xy(x^5 + y^5)^2 - 10(3y - 2x)^2}{5(3y - 2x)(x^5 + y^5)} \]

Упростим:

\[ \frac{xy(x^5 + y^5)}{5(3y - 2x)} + \frac{2(2x - 3y)}{x^5 + y^5} = \frac{xy(x^5 + y^5)^2 - 10(3y - 2x)^2}{5(3y - 2x)(x^5 + y^5)} \]

Далее:

\[ \frac{xy(x^5 + y^5)}{5(3y - 2x)} + \frac{2(2x - 3y)}{x^5 + y^5} = \frac{xy}{5(3y - 2x)}(x^5 + y^5) - \frac{2(3y - 2x)}{x^5 + y^5} \]

При \( x = \frac{1}{8} \) и \( y = -8 \), получим:

\[ = \frac{(\frac{1}{8})(-8)}{5(3(-8) - 2(\frac{1}{8}))} = \frac{-1}{5(-24 - \frac{1}{4}))} = \frac{-1}{5(-\frac{97}{4}))} = \frac{-1}{-\frac{485}{4}} = \frac{4}{485} \]

Теперь подставим значения во второе слагаемое:

\[ -\frac{2(3(-8) - 2(\frac{1}{8}))}{(\frac{1}{8})^5 + (-8)^5} = -\frac{2(-\frac{97}{4})}{(\frac{1}{8})^5 + (-8)^5} = \frac{\frac{97}{2}}{(\frac{1}{8})^5 + (-8)^5} \]

Соединим все вместе:

\[ \frac{4}{485} + \frac{\frac{97}{2}}{(\frac{1}{8})^5 + (-8)^5} \]

Найдем приближенное значение:

\( (\frac{1}{8})^5 \) пренебрежимо мало, поэтому

\[ \frac{4}{485} + \frac{\frac{97}{2}}{-8^5} \approx \frac{4}{485} - \frac{97}{2 \cdot 32768} \approx 0.0082 - 0.00148 \approx 0.0067 \]

Ответ: \( \approx 0.0067 \)