Тип 17 № 7257 Найдите значение выражения $$\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}.$$

Для упрощения выражения необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение к знаменателю: $$\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{2(7 - \sqrt{21})}{7 - 3} = \frac{2(7 - \sqrt{21})}{4} = \frac{7 - \sqrt{21}}{2}$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{21} + 3)}{7 - 3} = \frac{2(\sqrt{21} + 3)}{4} = \frac{\sqrt{21} + 3}{2}$$ Теперь сложим упрощенные дроби: $$\frac{7 - \sqrt{21}}{2} + \frac{\sqrt{21} + 3}{2} = \frac{7 - \sqrt{21} + \sqrt{21} + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Ответ: 5