Тип 17 № 7268 Найдите значение выражения $$\sqrt{88 + 32\sqrt{6} - 2\sqrt{6}}$$

$$\sqrt{88 + 32\sqrt{6} - 2\sqrt{6}} = \sqrt{88 + 30\sqrt{6}}$$ Заметим, что $$88 + 30\sqrt{6} = 25 + 63 + 30\sqrt{6} = 5^2 + (3\sqrt{7})^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7}$$. Это не полный квадрат. Попробуем представить выражение под корнем в виде полного квадрата: $$(a + b\sqrt{6})^2 = a^2 + 6b^2 + 2ab\sqrt{6}$$. Тогда $$a^2 + 6b^2 = 88$$ и $$2ab = 30$$, то есть $$ab = 15$$. Пусть $$b = \frac{15}{a}$$, тогда $$a^2 + 6(\frac{15}{a})^2 = 88$$, $$a^2 + 6 \cdot \frac{225}{a^2} = 88$$. $$a^4 + 1350 = 88a^2$$, $$a^4 - 88a^2 + 1350 = 0$$. Пусть $$t = a^2$$, тогда $$t^2 - 88t + 1350 = 0$$. $$D = 88^2 - 4 \cdot 1350 = 7744 - 5400 = 2344$$. $$t_{1,2} = \frac{88 \pm \sqrt{2344}}{2} = 44 \pm \sqrt{586}$$. Другой подход: Предположим, что $$\sqrt{88 + 30\sqrt{6}} = a\sqrt{2} + b\sqrt{3}$$. Тогда $$(\sqrt{88 + 30\sqrt{6}})^2 = (a\sqrt{2} + b\sqrt{3})^2$$. $$88 + 30\sqrt{6} = 2a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{6}$$. $$2a^2 + 3b^2 = 88$$ и $$2ab = 30$$, то есть $$ab = 15$$. $$b = \frac{15}{a}$$. $$2a^2 + 3(\frac{15}{a})^2 = 88$$, $$2a^2 + 3 \cdot \frac{225}{a^2} = 88$$. $$2a^4 + 675 = 88a^2$$, $$2a^4 - 88a^2 + 675 = 0$$. Пусть $$t = a^2$$, $$2t^2 - 88t + 675 = 0$$. $$D = 88^2 - 4 \cdot 2 \cdot 675 = 7744 - 5400 = 2344$$. $$t_{1,2} = \frac{88 \pm \sqrt{2344}}{4} = \frac{88 \pm 2\sqrt{586}}{4} = \frac{44 \pm \sqrt{586}}{2}$$. Попробуем представить под корнем как $$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$$. $$a + b = 88$$ и $$4ab = 900$$, $$ab = 225$$. Тогда $$a(88 - a) = 225$$, $$88a - a^2 = 225$$, $$a^2 - 88a + 225 = 0$$. $$D = 88^2 - 4 \cdot 225 = 7744 - 900 = 6844$$. $$a = \frac{88 \pm \sqrt{6844}}{2}$$. Если $$\sqrt{88+30\sqrt{6}} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$$, то $$(5\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2 = 50 + 27 + 30\sqrt{6} = 77 + 30\sqrt{6}
e 88 + 30\sqrt{6}$$. $$\sqrt{88 + 30\sqrt{6}} = \sqrt{88 + 30\sqrt{6}}$$ К сожалению, не получается упростить выражение до целого числа или простого выражения с корнями. Ответ: $$\sqrt{88 + 30\sqrt{6}}$$