18. Тип 17 № 2039 Олег и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Олег думает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Олег делает так: $$\frac{8}{6}=\frac{8-4}{6-3}=\frac{4}{3}$$. Аня считает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: $$\frac{6}{4}=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}$$. Олег и Аня (не обязательно по очереди) тридцать раз «сократили» дробь $$\frac{2018}{2019}$$ по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1952. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ - количество раз, когда Олег сокращал дробь, а $$y$$ - количество раз, когда Аня сокращала дробь. Тогда $$x + y = 30$$. После сокращения $$x$$ раз по правилу Олега и $$y$$ раз по правилу Ани, дробь стала равна $$\frac{2018-4x-3y}{2019-3x-2y}$$. По условию, знаменатель этой дроби равен 1952, то есть $$2019 - 3x - 2y = 1952$$. Из этого уравнения выразим $$3x + 2y$$: $$3x + 2y = 2019 - 1952 = 67$$. У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 30 \\ 3x + 2y = 67 \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = 30 - x$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$3x + 2(30 - x) = 67$$ $$3x + 60 - 2x = 67$$ $$x = 67 - 60 = 7$$ Тогда $$y = 30 - 7 = 23$$. Теперь найдем числитель получившейся дроби: $$2018 - 4x - 3y = 2018 - 4(7) - 3(23) = 2018 - 28 - 69 = 2018 - 97 = 1921$$. **Ответ: 1921**