10. Тип 10 № 7449 Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Найдите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции AD = 18 и BC = 12, боковая сторона AB = 6, а cos(∠BAD) = \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем:

cos(∠BAD) = \(\frac{AH}{AB}\), следовательно, \(\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{AH}{6}\).

Отсюда AH = \(\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 6 = 4\sqrt{2}\).

Теперь найдем высоту BH, используя теорему Пифагора для треугольника ABH:

BH² = AB² - AH² = 6² - (4\sqrt{2})² = 36 - 32 = 4.

Значит, BH = \(\sqrt{4} = 2\).

Площадь трапеции ABCD равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

S = \(\frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30\).