10. Тип 10 № 7450 Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $$a = 18$$ и $$b = 12$$. Боковая сторона $$c = 6$$. Тангенс угла между боковой стороной и основанием равен $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдём высоту трапеции $$h$$. Мы знаем, что $$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$$, где $$x$$ - проекция боковой стороны на большее основание. Тогда $$h = x \cdot \tan(\alpha)$$. Также мы знаем, что $$a = b + x$$, следовательно, $$x = a - b = 18 - 12 = 6$$. Теперь можем найти высоту: $$h = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$. Подставляем значения: $$S = \frac{18 + 12}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{30}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 15 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{45\sqrt{2}}{2}$$. Ответ: $$\frac{45\sqrt{2}}{2}$$