12. Тип 17 № 169851 Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона - 5. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$P$$ - периметр равнобедренного треугольника, $$a$$ - боковая сторона, а $$b$$ - основание. Тогда $$P = 2a + b$$. Нам известно, что $$P = 16$$ и $$a = 5$$. Найдем основание $$b$$:

$$16 = 2 \cdot 5 + b$$

$$16 = 10 + b$$

$$b = 16 - 10 = 6$$

Теперь мы знаем, что боковые стороны равны 5, а основание равно 6. Чтобы найти площадь, нам нужна высота. Проведём высоту $$h$$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой, поэтому она делит основание пополам. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой 5 и катетом 3 (половина основания). Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $$h$$:

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$

$$h^2 + 9 = 25$$

$$h^2 = 25 - 9 = 16$$

$$h = \sqrt{16} = 4$$

Теперь мы знаем высоту $$h = 4$$ и основание $$b = 6$$. Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

Ответ: 12