7. Тип 17 № 350844 Площадь прямоугольного треугольника равна 128√3.Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Ответ: 16

Обозначим искомый катет как a, а второй катет как b. Тогда площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

Также известно, что один из острых углов равен 60°. Пусть угол между катетом a и гипотенузой равен 60°. Тогда:

\[\tan{60^\circ} = \frac{b}{a}\] \[b = a \cdot \tan{60^\circ} = a\sqrt{3}\]

Подставим это выражение для b в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\]

Известно, что площадь равна 128√3, поэтому:

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 128\sqrt{3}\]

Решим уравнение относительно a:

\[a^2 = \frac{2 \cdot 128\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 256\] \[a = \sqrt{256} = 16\]

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу 60°, равна 16.

Ответ: 16