Тип 17 №8. Площадь прямоугольного треугольника равна $$200\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab$$, где a и b - катеты.

Пусть катет, прилежащий к углу 60°, равен a. Тогда другой катет (b) можно выразить через тангенс угла 60°: $$tg(60°) = \frac{b}{a}$$, откуда $$b = a \cdot tg(60°) = a \sqrt{3}$$.

Подставим это в формулу площади: $$200\sqrt{3} = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3})$$.

Решим уравнение: $$400\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$$.

$$a^2 = 400$$.

$$a = \sqrt{400} = 20$$.

Ответ: 20