22. Тип 22 № 338295 Постройте график функции у = (x2+7x+12)(x2-x-2) x²+5x+4 и определите, при каких значени- ях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Шаг 1: Упрощение функции

Разложим числитель и знаменатель на множители:

• \(x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)\)
• \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\)
• \(x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)\)

Тогда функция примет вид:

\[y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)}\]

Сокращаем на \((x+1)\) и \((x+4)\), но нужно учесть, что \(x
eq -1\) и \(x
eq -4\). После сокращения получаем:

\[y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6\]

при \(x
eq -1\) и \(x
eq -4\).

Шаг 2: Нахождение точек разрыва

В точках \(x = -1\) и \(x = -4\) функция не определена. Найдем значения функции в этих точках, используя упрощенное выражение:

• При \(x = -1\): \(y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6\)
• При \(x = -4\): \(y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6\)

Таким образом, имеем точки разрыва: \((-1, -6)\) и \((-4, 6)\).

Шаг 3: Построение графика

Графиком является парабола \(y = x^2 + x - 6\) с вершиной в точке:

\[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}\] \[y_v = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25\]

Вершина параболы: \((-\frac{1}{2}, -6.25)\). Парабола пересекает ось y в точке \((0, -6)\). Корни параболы:

\[x^2 + x - 6 = 0\] \[(x+3)(x-2) = 0\] \[x = -3, x = 2\]

Шаг 4: Определение значений m

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через одну из точек разрыва:

• Через вершину: \(m = -6.25\)
• Через точку разрыва \((-1, -6)\): \(m = -6\)
• Через точку разрыва \((-4, 6)\): \(m = 6\)

Ответ: m = -6.25, m = -6, m = 6