24. Тип 24 № 51 В параллелограмме ABCD точка Е середина стороны АВ. Известно, что EC=ED. Докажи- те, что данный параллелограмм прямоугольник.

Доказательство:

Дано:

• ABCD - параллелограмм
• E - середина AB, следовательно, AE = EB
• EC = ED

Требуется доказать: ABCD - прямоугольник

Шаг 1: Анализ треугольников EAD и EBC

Рассмотрим треугольники EAD и EBC. У них:

• AE = EB (по условию, E - середина AB)
• EC = ED (по условию)

Шаг 2: Использование свойств параллелограмма

В параллелограмме ABCD:

• AD = BC (противоположные стороны параллелограмма равны)

Шаг 3: Доказательство равенства треугольников EAD и EBC

Треугольники EAD и EBC равны по трем сторонам (AD = BC, AE = EB, ED = EC). Следовательно, \(\angle EAD = \angle EBC\).

Шаг 4: Анализ углов параллелограмма

В параллелограмме ABCD углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) являются смежными и в сумме составляют 180°:

\[\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\]

Так как \(\angle EAD = \angle EBC\), можно записать:

\[\angle DAB = \angle EAD\] \[\angle ABC = \angle EBC\]

Следовательно:

\[\angle DAB + \angle ABC = \angle EAD + \angle EBC = 180^\circ\]

Шаг 5: Доказательство прямого угла

Мы знаем, что \(\angle DAB = \angle EAD\) и \(\angle ABC = \angle EBC\). Поскольку сумма смежных углов параллелограмма равна 180°, то каждый из этих углов должен быть прямым:

\[\angle DAB = \angle ABC = 90^\circ\]

Шаг 6: Вывод

Так как в параллелограмме ABCD углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) прямые, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Ответ: Доказано, что данный параллелограмм является прямоугольником.