9. Тип 17 № 7252 Упростите числовое выражение (√2-1)√√3+ 2√2+ (1 - √3) √4+2√3.

Решение:

Исходное выражение: \[(\sqrt{2}-1)\sqrt{3+2\sqrt{2}} + (1-\sqrt{3})\sqrt{4+2\sqrt{3}}\]

• Шаг 1: Упростим \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\) и \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\).

Заметим, что: \[3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1 + \sqrt{2})^2\] \[4 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = (1 + \sqrt{3})^2\]

Тогда: \[\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}\] \[\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3}\]

• Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в исходное выражение.

\[(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})\]

• Шаг 3: Раскроем скобки.

\[(\sqrt{2} + 2 - 1 - \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 3)\] \[= (2 - 1) + (1 - 3)\] \[= 1 - 2\] \[= -1\]

Ответ: -1