16. Тип 16 № 1164 В правильном тетраэдре $$ABCD$$, все рёбра которого равны 2, найдите расстояние между медианой $$DK$$ треугольника $$ABD$$ и медианой $$BN$$ треугольника $$ABC$$. 17. Тип 17 № 880 Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что

Задача 16: В правильном тетраэдре $$ABCD$$ все рёбра равны 2. Необходимо найти расстояние между медианой $$DK$$ треугольника $$ABD$$ и медианой $$BN$$ треугольника $$ABC$$. Решение: 1. Определим положение медиан $$DK$$ и $$BN$$. Т.к. $$DK$$ – медиана треугольника $$ABD$$, то $$K$$ – середина $$AB$$. Т.к. $$BN$$ – медиана треугольника $$ABC$$, то $$N$$ – середина $$AC$$. 2. Рассмотрим четырёхугольник $$DKNB$$. Т.к. $$K$$ и $$N$$ – середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ соответственно, то $$KN$$ – средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$KN || BC$$ и $$KN = \frac{1}{2}BC$$. Т.к. все рёбра тетраэдра равны 2, то $$BC = 2$$, и $$KN = 1$$. 3. Найдём длины медиан $$DK$$ и $$BN$$. Медиана в равностороннем треугольнике также является высотой. Значит, можно найти её по теореме Пифагора: $$DK = BN = \sqrt{AD^2 - AK^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$. 4. Определим взаимное расположение медиан $$DK$$ и $$BN$$. Т.к. $$ABCD$$ - правильный тетраэдр, то отрезки $$DK$$ и $$BN$$ скрещивающиеся. 5. Найдём расстояние между медианами $$DK$$ и $$BN$$. Т.к. $$KN || BC$$, то прямая, параллельная $$KN$$ и проходящая через середину $$DK$$, пересекает $$BN$$ под прямым углом. Обозначим эту точку пересечения $$M$$. Тогда $$KM$$ является искомым расстоянием. Рассмотрим треугольник $$DKN$$. Он равнобедренный, т.к. $$DK = BN = \sqrt{3}$$ и $$KN = 1$$. Пусть $$L$$ - середина $$KN$$. Тогда $$DL$$ - высота в треугольнике $$DKN$$. $$DL = \sqrt{DK^2 - LK^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{3 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$$. Т.к. $$KM$$ - искомое расстояние, а $$KN || BC$$, то $$KM = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Задача 17: Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найти вероятность того, что чайник прослужит больше года, но не больше двух лет. Решение: 1. Определим события: * $$A$$ - чайник прослужит больше года. * $$B$$ - чайник прослужит больше двух лет. 2. По условию: * $$P(A) = 0.97$$ * $$P(B) = 0.89$$ 3. Нам нужно найти вероятность того, что чайник прослужит больше года, но не больше двух лет. Это можно представить как $$P(A \setminus B)$$, что означает вероятность события $$A$$, но не $$B$$. Эту вероятность можно найти как разность вероятностей $$P(A) - P(B)$$, т.к. событие $$B$$ является частью события $$A$$ (если чайник прослужил больше двух лет, то он автоматически прослужил и больше года). 4. Вычислим искомую вероятность: $$P(A \setminus B) = P(A) - P(B) = 0.97 - 0.89 = 0.08$$ Ответ: 0.08