9. Тип 9 № 7357 В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$BC$$ - меньшее основание, $$AD$$ - большее основание, $$h$$ - высота, и угол при основании $$\alpha = 45^\circ$$. Известно, что $$BC = 6$$ и $$h = 5$$. Нам нужно найти $$AD$$. Проведём высоты $$BH$$ и $$CF$$ из вершин $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = FD$$, и $$BC = HF = 6$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. В нём $$\angle BAH = 45^\circ$$, значит, $$\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$ABH$$ равнобедренный, и $$AH = BH = h = 5$$. Так как $$AH = FD$$, то $$FD = 5$$. Теперь мы можем найти длину основания $$AD$$: $$AD = AH + HF + FD = 5 + 6 + 5 = 16$$. Ответ: 16