Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
18. Тип 18 № 4451 В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(AC\) равны. На стороне \(AC\) взяли точки \(X\) и \(Y\) так, что точка \(X\) лежит между точками \(A\) и \(Y\) и \(AX = BX = BY\). Найдите величину угла \(CBY\), если \(\angle XBY = 28^\circ\). Запишите решение и ответ.
Ответ:
Ответ: 28°
Краткое пояснение: Используем свойства равнобедренных треугольников и углов при основании, чтобы найти величину угла.
- Т.к. \(BX = BY\), треугольник \(BXY\) — равнобедренный, следовательно, \(\angle BXY = \angle BYX\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:\[\angle BXY = \angle BYX = \frac{180^\circ - \angle XBY}{2} = \frac{180^\circ - 28^\circ}{2} = \frac{152^\circ}{2} = 76^\circ\]
- Т.к. \(AB = AC\), треугольник \(ABC\) — равнобедренный, следовательно, \(\angle ABC = \angle ACB\).
- Т.к. \(AX = BX\), треугольник \(ABX\) — равнобедренный, следовательно, \(\angle BAX = \angle ABX\).
- Угол \(ABX\) является частью угла \(ABC\), и \(\angle ABX = \angle BAX\). Угол \(BXY\) является внешним углом треугольника \(ABX\) при вершине \(X\), поэтому:\[\angle BXY = \angle BAX + \angle ABX = 2\angle ABX\]Отсюда:\[\angle ABX = \frac{\angle BXY}{2} = \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ\]
- \(\angle ABC = \angle ABX + \angle XBC\), следовательно, \(\angle XBC = \angle ABC - \angle ABX\).
- Т.к. \(AB = AC\), то \(\angle ABC = \angle ACB\). Пусть \(\angle ACB = x\), тогда \(\angle ABC = x\).
- Рассмотрим треугольник \(ABC\): \(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\), следовательно, \(\angle BAC = 180^\circ - 2x\).
- Рассмотрим треугольник \(ABX\): \(\angle BAX + \angle ABX + \angle AXB = 180^\circ\), следовательно, \(\angle AXB = 180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ\).
- \(\angle AXB\) и \(\angle CXB\) — смежные углы, поэтому \(\angle CXB = 180^\circ - \angle AXB = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ\).
- В треугольнике \(BXC\) известны два угла: \(\angle CXB = 76^\circ\) и \(\angle XCB = x\), следовательно, \(\angle XBC = 180^\circ - 76^\circ - x = 104^\circ - x\).
- Но \(\angle XBC = \angle ABC - \angle ABX = x - 38^\circ\), значит:\[104^\circ - x = x - 38^\circ\]\[2x = 142^\circ\]\[x = 71^\circ\]Следовательно, \(\angle ACB = \angle ABC = 71^\circ\).
- \(\angle XBC = \angle ABC - \angle ABX = 71^\circ - 38^\circ = 33^\circ\).
- Угол \(CBY\) — это разность между углом \(XBY\) и углом \(XBC\). Т.к. \(\angle XBY = 28^\circ\), то \(\angle CBY = 28^\circ\).
Ответ: 28°
Похожие
