17. Тип 17 № 7261 Найдите значение выражения 2\(\sqrt{1-2\sqrt{6}+6}\).

Ответ: Выражение не имеет смысла

2\[\sqrt{1-2\sqrt{6}+6} = 2\sqrt{7-2\sqrt{6}}\]

Так как 2\(\sqrt{6} \approx 2 \cdot 2.45 = 4.9\), то 1 - 2\(\sqrt{6}\) + 6 = 7 - 2\(\sqrt{6}\) \approx 7 - 4.9 = 2.1 > 0

2\[\sqrt{1 - 2\sqrt{6} + 6} = 2\sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = 2\sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2} = 2|\sqrt{6} - 1| = 2(\sqrt{6} - 1) = 2\sqrt{6} - 2\]

2\[\sqrt{6} - 2 \approx 2 \cdot 2.45 - 2 = 4.9 - 2 = 2.9\]

По условию задания нужно найти значение выражения 2\(\sqrt{1-2\sqrt{6}+6}\), которое можно преобразовать в 2\(\sqrt{7-2\sqrt{6}}\). Оценим значение под корнем: 7 - 2\(\sqrt{6}\) \approx 7 - 2 * 2.449 = 7 - 4.898 = 2.102. Так как выражение под корнем положительное, то корень можно извлечь. Извлечем корень: \(\sqrt{7-2\sqrt{6}} = \sqrt{6} - 1\). Тогда значение всего выражения будет 2 * (\(\sqrt{6} - 1\)) = 2\(\sqrt{6}\) - 2. Оценим значение: 2\(\sqrt{6}\) - 2 \approx 2 * 2.449 - 2 = 4.898 - 2 = 2.898. Но исходная запись выражения не имеет смысла, потому что, вероятно, подразумевалось следующее: 2\(\sqrt{1} - 2\sqrt{6} + 6 = 2 - 2\sqrt{6}\) + 6 = 8 - 2\(\sqrt{6}\) \approx 8 - 4.898 = 3.102, что, опять же, больше нуля. Однако, если бы выражение было записано так: 2\(\sqrt{1 - 2} \cdot \sqrt{6} + 6 \), то мы бы получили 2\(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{6} + 6 \), где корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. Да, выражение записано неверно. Примем, что 2\(\sqrt{1-2\sqrt{6}+6}\) = 2\( \sqrt{7 - 2 \sqrt{6} }\) Выражение можно преобразовать в 2\(( \sqrt{6} - 1)\) = 2\(\sqrt{6} - 2\)

Ответ: 2\(\sqrt{6} - 2\)