18. Тип 18 № 3994 В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если CAB = 40°

Пусть $$\angle CBY = x$$. Так как $$AB = AC$$, то $$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$$. Тогда $$\angle ABY = 70^{\circ} - x$$. Так как $$BX = BY$$, то треугольник $$BXY$$ равнобедренный, и $$\angle BXY = \angle BYX$$. Тогда $$\angle XBY = 180^{\circ} - 2\angle BXY$$. Также, так как $$AX = BX$$, то треугольник $$ABX$$ равнобедренный, и $$\angle BAX = \angle ABX = 40^{\circ}$$. Значит, $$\angle ABX = \angle ABY + \angle YBX = 40^{\circ}$$. Тогда $$70^{\circ} - x + \angle YBX = 40^{\circ}$$, откуда $$\angle YBX = x - 30^{\circ}$$. В треугольнике $$ABY$$ имеем $$\angle AYB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - (70^{\circ} - x) = 70^{\circ} + x$$. $$\angle BYX = 180^{\circ} - \angle AYB = 180^{\circ} - (70^{\circ} + x) = 110^{\circ} - x$$. С другой стороны, в треугольнике $$BXY$$ имеем $$\angle XBY = 180^{\circ} - 2(110^{\circ} - x) = 180^{\circ} - 220^{\circ} + 2x = 2x - 40^{\circ}$$. Итак, $$\angle YBX = x - 30^{\circ}$$ и $$\angle YBX = 2x - 40^{\circ}$$. Приравниваем эти выражения: $$x - 30^{\circ} = 2x - 40^{\circ}$$. Тогда $$x = 10^{\circ}$$. Ответ: 10