3. Тип 18 № 4032 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Хи У так, что точка Х лежит между то ками В и У. АХ - ВХ и BAX = YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ - 24.

Решение:

Так как АВ = ВС, треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, углы при его основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

∠ACB = 75°, следовательно, ∠BAC = 75°.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 75° - 75° = 30°.

Так как AX = BX, треугольник ABX – равнобедренный, значит, углы при его основании равны: ∠BAX = ∠ABX.

∠ABX = ∠ABC = 30°, следовательно, ∠BAX = 30°.

∠CAX = ∠BAC - ∠BAX = 75° - 30° = 45°.

Так как ∠BAX = ∠YAX, ∠YAX = 30°.

∠CAY = ∠CAX + ∠YAX = 45° + 30° = 75°.

Рассмотрим треугольник AXY. ∠AYX = 180° - ∠YAX - ∠AXB = 180° - 30° - ∠AXB.

∠AXB = 180° - ∠BAX - ∠ABX = 180° - 30° - 30° = 120°.

∠AYX = 180° - 30° - 120° = 30°.

Следовательно, треугольник AXY - равнобедренный с основанием АХ, значит АУ = АХ = 24.

Ответ: АУ = 24