18. Тип 17 № 10060: В восьми ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно и меньше 130? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть $$k_i$$, $$s_i$$ и $$b_i$$ - количество красных, синих и белых шаров в $$i$$-ом ящике соответственно. По условию, $$s_i = \sum_{j
eq i} b_j$$ и $$b_i = \sum_{j
eq i} k_j$$. Суммируя все $$s_i$$ и $$b_i$$ получим:\ $$\sum s_i = \sum_{i=1}^8 \sum_{j
eq i} b_j = \sum_{i=1}^8 7 b_i = 7 \sum b_i$$\ $$\sum b_i = \sum_{i=1}^8 \sum_{j
eq i} k_j = \sum_{i=1}^8 7 k_i = 7 \sum k_i$$\ Тогда, общее количество шаров $$N = \sum (k_i + s_i + b_i) = \sum k_i + \sum s_i + \sum b_i = \sum k_i + 7 \sum b_i + \sum b_i = \sum k_i + 8 \sum b_i = \sum k_i + 8 * 7 \sum k_i = \sum k_i + 56 \sum k_i = 57 \sum k_i$$\ Значит, общее количество шаров $$N$$ должно делиться на 57. Так как $$N < 130$$ и $$N$$ четно, единственно возможный вариант: $$N = 57 * 2 = 114$$.\ Ответ: Всего в ящиках лежит **114** шара.