18. Тип 17 № 12801 Ваня доходит от дома до школы за 30 минут, а его сестра Лена за 40 минут. Через сколько минут Ваня догонит Лену, если Ваня выйдет из дома через 5 минут после ухода Лены?

Пусть расстояние от дома до школы равно S. Скорость Вани равна $$\frac{S}{30}$$, а скорость Лены равна $$\frac{S}{40}$$. Лена вышла на 5 минут раньше, значит, она прошла расстояние $$\frac{S}{40} \times 5 = \frac{S}{8}$$. Пусть Ваня догонит Лену через t минут после своего выхода. Тогда Ваня пройдет расстояние $$\frac{S}{30}t$$, а Лена пройдет расстояние $$\frac{S}{40}t$$. В момент, когда Ваня догонит Лену, расстояние, которое прошел Ваня, будет равно расстоянию, которое прошла Лена плюс начальное расстояние между ними. Составим уравнение: $$\frac{S}{30}t = \frac{S}{40}t + \frac{S}{8}$$. Разделим обе части уравнения на S: $$\frac{t}{30} = \frac{t}{40} + \frac{1}{8}$$. Умножим обе части уравнения на 120 (наименьшее общее кратное 30, 40 и 8): $$4t = 3t + 15$$. Решим уравнение: $$4t - 3t = 15$$. $$t = 15$$. Ответ: Ваня догонит Лену через 15 минут после своего выхода.