Тип 3 № 7219 Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.

Пусть $$x$$ - первая цифра задуманного числа, тогда вторая цифра $$x + 2$$. Задуманное число можно представить как $$10x + (x + 2)$$, а число после перестановки цифр – как $$10(x + 2) + x$$. По условию, сумма квадратов этих чисел равна 1130: $$(10x + x + 2)^2 + (10(x + 2) + x)^2 = 1130$$ $$(11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130$$ Раскроем скобки: $$(121x^2 + 44x + 4) + (121x^2 + 440x + 400) = 1130$$ $$242x^2 + 484x + 404 = 1130$$ $$242x^2 + 484x - 726 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 22: $$11x^2 + 22x - 33 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 11: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ Так как $$x$$ - это цифра, то она должна быть положительной и целой, поэтому $$x = 1$$. Тогда вторая цифра $$x + 2 = 1 + 2 = 3$$. Задуманное число: $$10 \cdot 1 + 3 = 13$$. Ответ: 13