19. Тип 17 № 12225 Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 36. Какое число было задумано?

Решение:

1. Трехзначное число меньше 500 и делится на 45, значит оно делится на 5 и на 9.

2. Число делится на 5, если оканчивается на 0 или на 5. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

3. Пусть задуманное число $$abc$$. Тогда, по условию,

$$abc - acb = 36$$

$$100a + 10b + c - (100a + 10c + b) = 36$$

$$9b - 9c = 36$$

$$b - c = 4$$

Так как $$a < 5$$, а число делится на 45, значит оно должно оканчиваться на 0 или на 5.

4. Если $$c = 0$$, то $$b = 4$$. Значит, число $$a40$$ делится на 9. $$a + 4 + 0$$ делится на 9. Следовательно, $$a = 5$$, но $$a < 5$$, значит этот вариант не подходит.

5. Если $$c = 5$$, то $$b = 9$$. Значит, число $$a95$$ делится на 9. $$a + 9 + 5$$ делится на 9. Следовательно, $$a + 14$$ делится на 9. Значит, $$a = 4$$. Получаем число 495.

6. Проверим:

$$495 \div 45 = 11$$

$$495 - 459 = 36$$

Ответ: 495