18 Тип 16 i Касательные в точках А и В к окружности с цен- тром О пересекаются под углом 36°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в граду- сах.

Рассмотрим четырехугольник $$ABOC$$. Из условия задачи следует, что $$\angle AOB = 36^\circ$$. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то $$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$. Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$, следовательно, $$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ.$$Подставим известные значения:$$36^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ,$$откуда$$\angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 36^\circ = 144^\circ.$$Угол $$ABO$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$AO$$. Тогда$$\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 144^\circ = 72^\circ.$$

Другой способ решения. Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Он равнобедренный, так как $$OA = OB$$ (радиусы окружности). Угол при вершине $$O$$ равен $$36^\circ$$. Тогда углы при основании $$A$$ и $$B$$ равны между собой и равны$$\frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ.$$Таким образом, $$\angle ABO = 72^\circ$$.

Ответ: 72