19 Тип 17 і Площадь прямоугольного треугольника равна 242√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $$S = \frac{1}{2}ab,$$где $$a$$ и $$b$$ - катеты. Пусть $$\angle A = 60^\circ$$, $$AC = x$$ - прилежащий катет, $$BC$$ - противолежащий катет. Тогда$$BC = AC \cdot \tan A = x \cdot \tan 60^\circ = x\sqrt{3}.$$Площадь треугольника равна $$S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} x \cdot x\sqrt{3} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{2}.$$По условию задачи $$S = 242\sqrt{3}$$. Получаем уравнение$$\frac{x^2 \sqrt{3}}{2} = 242\sqrt{3}.$$Разделим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$:$$\frac{x^2}{2} = 242,$$$$x^2 = 484,$$$$x = \sqrt{484} = 22.$$

Ответ: 22