17 Тип 17 і В ромбе сторона равна 10, одна из диагона- лей — 101/2 - √2, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 45°. Найдите площадь ромба, деленную на √2.

Решение:

Площадь ромба можно найти как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами.

$$S = a^2 \cdot sin \alpha$$

В ромбе угол, лежащий напротив диагонали, равен 45°. Значит, половина угла равна 22,5°.

$$d = 10\sqrt{2} - \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$$ $$sin 22.5° = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}} }{2}$$ $$cos 22.5° = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}$$

По теореме косинусов, $$d^2 = 2a^2 - 2a^2 cos\beta$$, где β - угол между сторонами ромба.

Тогда, $$cos\beta = \frac{2a^2 - d^2}{2a^2}$$ $$cos\beta = \frac{2 \cdot 10^2 - (9\sqrt{2})^2}{2 \cdot 10^2} = \frac{200 - 162}{200} = \frac{38}{200} = 0.19$$ $$\beta = arccos(0.19) \approx 79°$$ $$sin \beta = \sqrt{1 - cos^2 \beta} = \sqrt{1 - 0.19^2} = \sqrt{1 - 0.0361} = \sqrt{0.9639} \approx 0.98$$

Площадь ромба $$S = a^2 sin \beta = 10^2 \cdot 0.98 = 98$$

Площадь, деленная на $$ \sqrt{2}$$, равна $$ \frac{98}{\sqrt{2}} = \frac{98 \sqrt{2}}{2} = 49\sqrt{2} \approx 69.3$$

Ответ: 49\sqrt{2}