Тип 10 № 1827. В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного этих двух зачётов. 3) Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Question

Вопрос:

Фото задания

Тип 10 № 1827. В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного этих двух зачётов. 3) Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем принцип включения-исключения и логические выводы на основе данных.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Определим общее количество студентов в группе: 30.
Шаг 2: Количество сдавших экономику (Э): 20. Количество сдавших английский (А): 20.
Шаг 3: Найдем минимальное количество студентов, сдавших оба предмета (Э ∩ А), используя формулу:
\( |Э ∪ А| = |Э| + |А| - |Э ∩ А| \)
Поскольку общее число студентов 30, то \( |Э ∪ А| ≤ 30 \).
\( 20 + 20 - |Э ∩ А| ≤ 30 \)
\( 40 - |Э ∩ А| ≤ 30 \)
\( |Э ∩ А| ≥ 40 - 30 \)
\( |Э ∩ А| ≥ 10 \). Это означает, что хотя бы 10 студентов сдали оба предмета. Утверждение 1 верно.
Шаг 4: Найдем максимальное количество студентов, не сдавших ни одного предмета. Это общее число студентов минус те, кто сдал хотя бы один предмет:
\( \text{Не сдали ни одного} = \text{Всего} - |Э ∪ А| \)
Минимальное значение \( |Э ∪ А| \) равно 10 (из предыдущего шага). Максимальное значение \( |Э ∪ А| \) равно 20 (так как сдали по 20 человек).
Максимальное число не сдавших = \( 30 - 10 = 20 \).
Минимальное число не сдавших = \( 30 - 20 = 10 \).
Количество не сдавших может быть от 10 до 20. Утверждение 2 (11 студентов) возможно. Однако, нам нужно выбрать все верные утверждения. Давайте проверим остальные.
Шаг 5: Рассмотрим утверждение 3: "Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку."
Мы уже выяснили, что количество сдавших оба предмета \( |Э ∩ А| ≥ 10 \). Максимальное значение \( |Э ∪ А| \) равно 20 (поскольку общее число студентов, сдавших один предмет, равно 20). Таким образом, количество студентов, сдавших оба предмета, находится в диапазоне [10, 20]. Поскольку 20 < 21, то утверждение "Меньше 21 студента..." верно. Утверждение 3 верно.
Шаг 6: Рассмотрим утверждение 4: "В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике."
Количество студентов, сдавших экономику, но не английский, равно \( |Э| - |Э ∩ А| \).
Минимальное значение: \( 20 - 20 = 0 \).
Максимальное значение: \( 20 - 10 = 10 \).
Таким образом, количество студентов, сдавших экономику, но не английский, находится в диапазоне [0, 10]. Утверждение, что таких студентов 20, неверно.
Шаг 7: Перепроверим утверждение 2: "В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного этих двух зачётов."
Как мы выяснили, число не сдавших находится в диапазоне [10, 20]. Значит, может быть и 11 не сдавших. Утверждение 2 верно.
Шаг 8: Объединяем верные утверждения: 1, 2, 3.

Ответ: 123