Тип 12 С2 № 181. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Обозначим вершины правильного восьмиугольника по порядку \(A_1,A_2,\ldots,A_8\), а его центр — \(O\). Соединим через одну вершины: получим четырёхугольник \(A_1A_3A_5A_7\).

1. Все вершины правильного восьмиугольника лежат на одной окружности с центром \(O\). Поэтому \(OA_1=OA_3=OA_5=OA_7\), и четырёхугольник \(A_1A_3A_5A_7\) является вписанным.
2. Центральный угол между соседними вершинами восьмиугольника равен \(360^\circ/8=45^\circ\). Между вершинами, взятыми через одну, угол равен \(2\cdot45^\circ=90^\circ\).
3. Следовательно, дуги между соседними вершинами четырёхугольника равны, а его стороны — равные хорды. Каждый угол четырёхугольника опирается на полуокружность и равен \(90^\circ\).
4. Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и прямыми углами — квадрат.

Доказано: при последовательном соединении вершин через одну получается квадрат.