Тип 13 № 350444. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x² < 64?

Решение:

Нам нужно решить неравенство \( x^2 < 64 \).

Это неравенство можно решить двумя способами:

1. Алгебраически:



Перенесём всё в одну часть:

\[ x^2 - 64 < 0 \]


Разложим на множители как разность квадратов:

\[ (x - 8)(x + 8) < 0 \]


Метод интервалов:




Корни уравнения \( x^2 - 64 = 0 \) это \( x = 8 \) и \( x = -8 \).




Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty, -8) \), \( (-8, 8) \), \( (8, \infty) \).




Проверим знак выражения \( (x - 8)(x + 8) \) в каждом интервале:





• Для \( x < -8 \), например \( x = -10 \): \((-10 - 8)(-10 + 8) = (-18)(-2) = 36 > 0\)


• Для \( -8 < x < 8 \), например \( x = 0 \): \((0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 < 0\)


• Для \( x > 8 \), например \( x = 10 \): \((10 - 8)(10 + 8) = (2)(18) = 36 > 0\)





Неравенство \( x^2 - 64 < 0 \) выполняется для \( -8 < x < 8 \).




2. Геометрически:



Неравенство \( x^2 < 64 \) означает, что квадрат числа \( x \) меньше 64. Это верно для чисел \( x \), которые находятся между \( -8 \) и \( 8 \) на числовой прямой.





На числовой оси это будет соответствовать интервалу от -8 до 8, не включая сами концы.





Рисунок 1) показывает именно этот интервал: промежуток между -8 и 8, выделенный штриховкой, и стрелка, указывающая направление числовой оси.

Ответ: на рисунке 1).