Тип 19 № 401818 Какие из следующих утверждений верны? 1) Все высоты равностороннего треугольника равны. 2) Угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. 3) В любой ромб можно вписать окружность. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение:

Проанализируем каждое утверждение:

1. Все высоты равностороннего треугольника равны. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны. Высоты, биссектрисы и медианы, проведённые из одной вершины, совпадают. Так как все стороны равны, то и высоты, опущенные на эти стороны, будут равны. Это утверждение верно.
2. Угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это утверждение неверно.
3. В любой ромб можно вписать окружность. Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. У ромба все стороны равны, значит, суммы противоположных сторон равны. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Это утверждение верно.

Верными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 1, 3