Тип 22 № 338420. Постройте график функции \(y=\dfrac{|(x^2+3x)|x|}{x+3}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения: \(x\ne -3\).

Если \(x>0\), то \(|x|=x\), а \(x^2+3x=x(x+3)>0\). Поэтому \(y=\dfrac{x(x+3)x}{x+3}=x^2\).

Если \(-3<x<0\), то \(|x|=-x\), а \(x^2+3x=x(x+3)<0\). Следовательно, \(|x^2+3x|=-x(x+3)\), и \(y=\dfrac{[-x(x+3)](-x)}{x+3}=x^2\).

Если \(x<-3\), то \(|x|=-x\), а \(x^2+3x=x(x+3)>0\). Значит, \(y=\dfrac{x(x+3)(-x)}{x+3}=-x^2\).

Таким образом, график состоит из части параболы \(y=-x^2\) при \(x<-3\) и части параболы \(y=x^2\) при \(x>-3\). Точка \((-3,9)\) исключена, поэтому на ветви \(y=x^2\) в ней выколотая точка. При \(x=0\) график проходит через \((0,0)\).

На левой ветви значения функции отрицательны, а на правой ветви \(y=x^2\ge 0\); значение 0 достигается при \(x=0\). Поэтому множество значений функции — \((-\infty,0)\cup[0,+\infty)=\mathbb R\). Каждая прямая \(y=m\) пересекает график хотя бы в одной точке.

Ответ: таких значений \(m\) нет.