Тип Д37 С5 № 315039. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Пусть \(ABCDEF\) — правильный шестиугольник, а \(K,L,M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DE,EF,FA\) соответственно.

В каждом треугольнике, образованном двумя соседними сторонами шестиугольника и его диагональю, отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине. Поэтому стороны нового шестиугольника попеременно параллельны сторонам исходного и их коротким диагоналям. У правильного шестиугольника все стороны равны, а углы между соседними сторонами и короткими диагоналями равны 60° либо дополнительны к 60°; внутренние углы полученного шестиугольника равны 120°.

Кроме того, каждая сторона нового шестиугольника равна половине стороны исходного: например, в треугольнике \(ABC\), \(KL=\dfrac{AC}{2}\), а в правильном шестиугольнике \(AC=AB\sqrt{3}\). Аналогично для остальных сторон, значит все шесть сторон нового шестиугольника равны.

Следовательно, у полученной фигуры все стороны равны и все внутренние углы равны 120°, то есть это правильный шестиугольник.