Тип 22 № 401465. Постройте график функции $y=\begin{cases}x-0{,}5,&x<-2,\\-2x-6{,}5,&-2\le x\le-1,\\x-3{,}5,&x>-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Тип 22 № 401465. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x-0{,}5,&x<-2,\\-2x-6{,}5,&-2\le…$ Фото задания

Тип 22 № 401465. Постройте график функции $y=\begin{cases}x-0{,}5,&x<-2,\\-2x-6{,}5,&-2\le x\le-1,\\x-3{,}5,&x>-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для построения найдём значения на концах промежутков и учтём, включены ли эти концы в область каждой ветви.

При $x<-2$: прямая $y=x-0.5$ подходит к точке $(-2;-2.5)$, не включая её.
При $-2\le x\le-1$: отрезок прямой $y=-2x-6.5$ соединяет точки $(-2;-2.5)$ и $(-1;-4.5)$; обе точки включены.
При $x>-1$: луч $y=x-3.5$ начинается от исключённой точки $(-1;-4.5)$.

Подсчитаем пересечения горизонтали $y=m$ с тремя ветвями. Левая ветвь даёт одну точку при $m<-2.5$, средний отрезок — одну при $-4.5\le m\le-2.5$, правая ветвь — одну при $m>-4.5$. На уровнях $m=-4.5$ и $m=-2.5$ граничные точки принадлежат только одной ветви, поэтому их не нужно считать дважды.

При $m<-4.5$ получается одно пересечение; при $m=-4.5$ — два; при $-4.5<m<-2.5$ — три; при $m=-2.5$ — два; при $m>-2.5$ — одно.

Ответ: $m=-4.5$ или $m=-2.5$.