Тип 24 № 340341. Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

1. Так как AA₁ — высота, а A₁ лежит на BC, то \(\angle AA_1B = 90^\circ\).
2. Так как BB₁ — высота, а B₁ лежит на AC, то \(\angle AB_1B = 90^\circ\).
3. Следовательно, точки A, A₁, B₁ и B лежат на одной окружности: углы AA₁B и AB₁B опираются на отрезок AB и равны.
4. Углы AA₁B₁ и ABB₁ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну хорду AB₁. Поэтому они равны.

Значит, \(\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1\).