Тип 3 № 27103. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{8}\) и образует с плоскостью этой грани угол \(45^\circ\). Найдите объём параллелепипеда.

Пусть сторона квадратной грани равна \(a\), а третье измерение параллелепипеда равно \(h\).

Проекция диагонали на плоскость квадратной грани является диагональю квадрата, поэтому её длина равна \(a\sqrt2\). По условию угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани равен \(45^\circ\):

\[\cos45^\circ=\frac{a\sqrt2}{\sqrt8}.\]

Так как \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), получаем

\[\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a\sqrt2}{\sqrt8},\]

что при данных обозначениях недостаточно для нахождения размеров. Используем длину диагонали:

\[8=2a^2+h^2.\]

Из условия угла также \(h=a\sqrt2\), поэтому

\[8=2a^2+2a^2=4a^2,\qquad a^2=2,\qquad h=2.\]

Объём:

\[V=a^2h=2\cdot2=4.\]

Ответ: 4.