Тип 7 № 4158: Найдите значение выражения $$\frac{x^2+4x+4}{x^2-25} : \frac{2x+4}{6x+30}$$ при $$x = 3$$.

Привет! Давай найдем значение этого выражения шаг за шагом.

1. Упростим выражение:

Сначала разложим числители и знаменатели дробей на множители:

• Числитель первой дроби: $$x^2+4x+4 = (x+2)^2$$
• Знаменатель первой дроби: $$x^2-25 = (x-5)(x+5)$$
• Числитель второй дроби: $$2x+4 = 2(x+2)$$
• Знаменатель второй дроби: $$6x+30 = 6(x+5)$$

Теперь подставим разложенные выражения в исходное:

\[ \frac{(x+2)^2}{(x-5)(x+5)} : \frac{2(x+2)}{6(x+5)} \]

Деление дробей — это умножение на перевернутую вторую дробь:

\[ \frac{(x+2)^2}{(x-5)(x+5)} \times \frac{6(x+5)}{2(x+2)} \]

Теперь сократим общие множители:

\[ \frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{(x-5)\cancel{(x+5)}} \times \frac{\cancel{6}^{\3}}{\cancel{2}^{\1}}\cancel{(x+2)} \]

Получаем:

\[ \frac{x+2}{x-5} \times 3 = \frac{3(x+2)}{x-5} \]

2. Подставим значение x = 3:

Теперь, когда мы упростили выражение, подставим $$x=3$$:

\[ \frac{3(3+2)}{3-5} = \frac{3(5)}{-2} = \frac{15}{-2} = -7.5 \]

Ответ: -7.5