Тип 8 № 2162 На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и D. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 32°.

Решение:

Дано:
\( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \).
\( \angle ABC = 32^{\circ} \).
Точка D лежит на продолжении стороны AB, причем A находится между B и D.
\( AD = AC \).

Найти: \( \angle ADC \).

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то углы при основании равны:
   \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
   \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ} \)
   \( 2 \angle BAC + 32^{\circ} = 180^{\circ} \)
   \( 2 \angle BAC = 180^{\circ} - 32^{\circ} \)
   \( 2 \angle BAC = 148^{\circ} \)
   \( \angle BAC = 74^{\circ} \)
3. Так как \( A \) находится между \( B \) и \( D \), угол \( CAD \) — развернутый или смежный с \( BAC \).
   \( \angle CAD = 180^{\circ} - \angle BAC \)
   \( \angle CAD = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \)
4. Рассмотрим \( \triangle ADC \). По условию \( AD = AC \), следовательно, \( \triangle ADC \) — равнобедренный.
   Углы при основании \( DC \) равны:
   \( \angle ADC = \angle ACD \).
5. Сумма углов \( \triangle ADC \) равна \( 180^{\circ} \).
   \( \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^{\circ} \)
   \( 2 \angle ADC + 106^{\circ} = 180^{\circ} \)
   \( 2 \angle ADC = 180^{\circ} - 106^{\circ} \)
   \( 2 \angle ADC = 74^{\circ} \)
   \( \angle ADC = 37^{\circ} \)

Ответ: 37°.