14 Тип ДЗЗ № 412206 i На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

1. Шаг 1: Анализ структуры змейки
Змейка состоит из последовательности горизонтальных и вертикальных отрезков, образующих спираль. Каждый виток спирали добавляет два новых звена: горизонтальное и вертикальное.
2. Шаг 2: Определение количества витков
В первом случае, когда последнее звено равно 10, можно визуально посчитать количество витков на рисунке (пусть это будет для примера). Во втором случае последнее звено равно 120. Это означает, что нужно определить, сколько витков содержит такая змейка.
3. Шаг 3: Определение количества звеньев
Пусть последнее звено равно 120. Змейка строится так, что каждое следующее звено длиннее предыдущего. Если последнее звено имеет длину 120, то перед ним было звено с длиной 119, затем 118, и так далее до 1. Все звенья можно разделить на горизонтальные и вертикальные. Количество горизонтальных звеньев равно количеству вертикальных.
4. Шаг 4: Расчет общей длины ломаной
Общая длина ломаной будет суммой длин всех звеньев. Поскольку звенья образуют арифметическую прогрессию, можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \] Где:
• \( S_n \) - сумма всех звеньев (общая длина ломаной).
• \( n \) - количество звеньев.
• \( a_1 \) - длина первого звена.
• \( a_n \) - длина последнего звена.
5. Шаг 5: Подстановка значений и расчет
В нашем случае:
• \( a_1 = 1 \)
• \( a_n = 120 \)
• \( n = 240 \) (так как звеньев в два раза больше, чем длина последнего звена)
Подставляем значения в формулу: \[ S_n = \frac{240(1 + 120)}{2} = \frac{240 \cdot 121}{2} = 120 \cdot 121 = 14520 \]

Ответ: 14520