12 Тип 11 На координатной плоскости даны точки А и прямая l (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой l.

Точка А имеет координаты (3, 1). Прямая l является линией, проходящей через начало координат и точку (1,1), и следовательно является прямой $$y=-x+2$$ или $$x+y=2$$. Чтобы найти точку, симметричную точке A(3, 1) относительно прямой l, нужно: 1. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку A. Прямая l имеет уравнение $$x+y=2$$, то есть $$y=-x+2$$. Её угловой коэффициент $$k_1 = -1$$. Тогда угловой коэффициент перпендикулярной прямой $$k_2 = -\frac{1}{k_1} = 1$$. Уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 1) и имеющей угловой коэффициент $$k_2 = 1$$, имеет вид $$y - 1 = 1(x - 3)$$, то есть $$y = x - 2$$. 2. Найти точку пересечения этих двух прямых. Для этого нужно решить систему уравнений: \begin{cases} x + y = 2 \\ y = x - 2 \end{cases} Подставим второе уравнение в первое: $$x + (x - 2) = 2$$ $$2x - 2 = 2$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$ Тогда $$y = 2 - 2 = 0$$. Точка пересечения (2, 0). 3. Найти координаты симметричной точки A'(x', y'). Точка пересечения является серединой отрезка AA'. Тогда: $$\frac{x' + 3}{2} = 2$$ и $$\frac{y' + 1}{2} = 0$$ $$x' + 3 = 4$$ и $$y' + 1 = 0$$ $$x' = 1$$ и $$y' = -1$$ Следовательно, симметричная точка A' имеет координаты (1, -1). 4. Найти сумму координат точки A': $$1 + (-1) = 0$$ Ответ: 0