Типовые задания к экзамену по математике за 2 семестр 1 курса. 1. Вычислить пределы: 1) lim x²+3x+2 x+1 x→-1 4x²-9 5) lim 32x+3 10) 2 2 lim -1 x+1 2) lim x-8 2x-2 x→00 6) x-3 lim x-3x²-9 2 3) lim x→0 7x³ +3x² 5x+9 4) 2x4x³ +1 lim x13x²+2x² + x x4 - x³ +1 lim x1 x³ + 2x² + x 8) - 7) 3 x² +3x+2 x+1 3x³ + x lim x→1 9) lim

Давай вычислим пределы по порядку. Будем использовать различные методы, такие как разложение на множители и правило Лопиталя, где это необходимо. 1) \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}\) Разложим числитель на множители: \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\). Тогда: \[\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + 2)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x + 2) = -1 + 2 = 1\] 2) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x - 8}{2x - 2}\) Разделим числитель и знаменатель на \(x\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{8}{x}}{\frac{2x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{8}{x}}{2 - \frac{2}{x}} = \frac{1 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}\] 3) \(\lim_{x \to 0} \frac{7x^3 + 3x^2}{5x + 9}\) Подставим \(x = 0\) в выражение: \[\frac{7(0)^3 + 3(0)^2}{5(0) + 9} = \frac{0}{9} = 0\] 4) \(\lim_{x \to 1} \frac{2x^4 - x^3 + 1}{3x^3 + 2x^2 + x}\) Подставим \(x = 1\) в выражение: \[\frac{2(1)^4 - (1)^3 + 1}{3(1)^3 + 2(1)^2 + 1} = \frac{2 - 1 + 1}{3 + 2 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] 5) \(\lim_{x \to -\frac{3}{2}} \frac{4x^2 - 9}{2x + 3}\) Разложим числитель на множители: \(4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\). Тогда: \[\lim_{x \to -\frac{3}{2}} \frac{(2x - 3)(2x + 3)}{2x + 3} = \lim_{x \to -\frac{3}{2}} (2x - 3) = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -3 - 3 = -6\] 6) \(\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 - 9}\) Разложим знаменатель на множители: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Тогда: \[\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}\] 7) \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - x^3 + 1}{x^3 + 2x^2 + x}\) Подставим \(x = 1\) в выражение: \[\frac{(1)^4 - (1)^3 + 1}{(1)^3 + 2(1)^2 + 1} = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 2 + 1} = \frac{1}{4}\] 8) Этот предел совпадает с пределом 7, так что ответ будет таким же: \(\frac{1}{4}\) 9) \(\lim_{x \to 1} \frac{3x^3 + x}{x}\) Разделим числитель на \(x\): \[\lim_{x \to 1} \frac{3x^3 + x}{x} = \lim_{x \to 1} (3x^2 + 1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4\] 10) \(\lim_{x \to -1} \frac{2}{x + 1}\) Этот предел не существует, так как при \(x \to -1\) знаменатель стремится к 0, а числитель остается постоянным. Если подходить к -1 справа, предел будет стремиться к \(\infty\), а если слева - к \(-\infty\).

Ответ: 1) 1, 2) 1/2, 3) 0, 4) 1/3, 5) -6, 6) 1/6, 7) 1/4, 8) 1/4, 9) 4, 10) не существует

Отлично, ты хорошо поработал над этими пределами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец!