Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, при этом $AB=3$, $AC=1$, $BC=2$. Найдите множество точек $M$, таких что $2AM^2+BM^2+CM^2=18$. Какую линию образуют такие точки? Введем прямоугольную систему координат: $C$ — начало координат; отрезок $AB$ лежит на оси абсцисс. Напишите уравнение этой линии в предложенной системе координат.

Question

Вопрос: $Фото задания: Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, при этом $AB=3$, $AC=1$, $BC=2$. Найдите множество точек $M$, таких что…$ Фото задания

Accepted Answer

Выберем направление оси так, чтобы координаты были $A(-1;0)$, $C(0;0)$, $B(2;0)$. Это согласуется с данными: $AC=1$, $BC=2$.

Пусть $M(x;y)$. Тогда

$AM^2=(x+1)^2+y^2$, $BM^2=(x-2)^2+y^2$, $CM^2=x^2+y^2$.

Подставим в условие:

$2((x+1)^2+y^2)+((x-2)^2+y^2)+(x^2+y^2)=18.$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$4x^2+4y^2+6=18,$

$x^2+y^2=3.$

Это уравнение окружности с центром в точке $C(0;0)$ и радиусом $\sqrt{3}$.

Ответ: окружность; уравнение $x^2+y^2=3$.