Точка C лежит на отрезке AB, при этом AB = 4, AC = 1, BC = 3. Найдите множество точек M таких, что 3AM² + BM² + CM² = 17. Какую линию образуют такие точки? Введем прямоугольную систему координат: C — начало координат; отрезок AB лежит на оси абсцисс. Напишите уравнение этой линии в предложенной системе координат.

Так как AC + BC = AB, точка C находится между A и B. Выберем координаты C(0; 0), A(−1; 0), B(3; 0). При обратном направлении оси абсцисс точки A и B поменяются местами, но уравнение искомой линии не изменится.

Пусть M(x; y). Тогда по формуле расстояния:

AM² = (x + 1)² + y², BM² = (x − 3)² + y², CM² = x² + y².

Подставим в условие и раскроем скобки:

3((x + 1)² + y²) + (x − 3)² + y² + x² + y² = 17.

После приведения подобных слагаемых получаем 5x² + 5y² + 12 = 17, откуда x² + y² = 1. Это окружность с центром C и радиусом 1.

Ответ: окружность; x² + y² = 1.