Точка C лежит на отрезке AB, при этом AB = 6, AC = 2, BC = 4. Найдите множество точек M таких, что 2AM² + BM² + CM² = 32. Какую линию образуют такие точки? Введем прямоугольную систему координат: C — начало координат; отрезок AB лежит на оси абсцисс. Напишите уравнение этой линии в предложенной системе координат.

Расположим точки на оси абсцисс: C(0; 0), A(−2; 0), B(4; 0). Это соответствует AC = 2 и BC = 4.

Пусть M(x; y). Тогда \(AM^2=(x+2)^2+y^2\), \(BM^2=(x-4)^2+y^2\), \(CM^2=x^2+y^2\).

Подставим выражения в условие:

\(2((x+2)^2+y^2)+((x-4)^2+y^2)+(x^2+y^2)=32.\)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(4x^2+4y^2+24=32,\)

\(4x^2+4y^2=8,\)

\(x^2+y^2=2.\)

Это уравнение окружности с центром в точке C(0; 0) и радиусом \(\sqrt{2}\).

Ответ: окружность; уравнение \(x^2+y^2=2\).