Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, BC - большая боковая сторона, AD - меньшая боковая сторона (высота). Окружность вписана в трапецию. Точка касания окружности с большей боковой стороной BC делит её на отрезки 2 см и 8 см. Это означает, что BC = 2 + 8 = 10 см.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Пусть окружность касается стороны BC в точке K, и BK = 2 см, KC = 8 см.

Так как в трапецию вписана окружность, суммы её противоположных сторон равны: AB + CD = AD + BC.

Поскольку трапеция прямоугольная, AD является высотой трапеции, и вписанная окружность касается AD в середине, а её диаметр равен AD. Тогда AD = 2r, где r - радиус вписанной окружности. Таким образом, r = AD/2.

Проведем высоту CE к основанию AB. Тогда CE = AD = 2r, и BE = AB - CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CEB. По теореме Пифагора:

$$CE^2 + EB^2 = BC^2$$

Имеем $$CE = AD$$. Заметим, что высота, проведенная из вершины C, равна диаметру вписанной окружности, т.е. $$AD = 2r$$. Радиус вписанной окружности можно найти как среднее геометрическое отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону: $$r = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$$ см.

Тогда высота трапеции $$AD = 2r = 2 \cdot 4 = 8$$ см.

Теперь вспомним, что $$AB + CD = AD + BC = 8 + 10 = 18$$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AD$$

Подставляем известные значения:

$$S = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$$ см²

Ответ: 72 см²