Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 14.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника координатными осями: пусть B — начало координат, а точки A и C лежат на разных координатных осях.

Пусть \(H=(x_H,y_H)\). Так как окружность имеет диаметр BH, её уравнение имеет вид:

\(x^2+y^2-x_Hx-y_Hy=0\).

При пересечении со стороной AB получаем точку \(P=(x_H,0)\), а при пересечении со стороной CB — точку \(K=(0,y_H)\).

Тогда

\(PK=\sqrt{x_H^2+y_H^2}=BH\).

Следовательно, \(BH=PK=14\).

Ответ: 14.