23. Точка и является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольного треугольника Ада Окружность с диаметром В пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если ВН-12

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой.

2) H - основание высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе AB.

3) Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно.

4) Так как BH - диаметр окружности, то углы BPH и BKH - прямые, опирающиеся на диаметр.

5) Следовательно, треугольники BPH и BKH - прямоугольные.

6) Так как угол BPH = 90°, то PH перпендикулярна AB.

7) Так как BH - высота треугольника ABC, то BH перпендикулярна AC.

8) Следовательно, PH || AC (обе перпендикулярны AB).

9) Аналогично, HK || AC (обе перпендикулярны BC).

10) Таким образом, PHKC - прямоугольник (все углы прямые).

11) Так как PHKC - прямоугольник, то PH = CK и PK = HC.

12) Рассмотрим треугольник ABC.

13) P - середина AB (так как PH - высота и медиана в треугольнике ABP, следовательно, ABP - равнобедренный, и PH - медиана).

14) K - середина BC (аналогично).

15) Следовательно, PK - средняя линия треугольника ABC.

16) Значит, PK = 1/2 AC.

17) Так как BH - высота, проведенная к гипотенузе, то BH = AC (в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна гипотенузе).

18) Таким образом, PK = 1/2 BH.

19) PK = 1/2 * 12 = 6.

Ответ: 12