Точка, лежащая на окружности верхнего основания цилиндра, соединена с точкой, лежащей на окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведёнными в эти точки, равен 60°. Найдите длину отрезка, соединяющего выбранные точки, если радиус и высота цилиндра равны $$3\sqrt{2}$$.

Пусть $$A$$ – точка на окружности верхнего основания, $$B$$ – точка на окружности нижнего основания. Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ – центры верхнего и нижнего оснований соответственно. Дано, что угол между радиусами $$O_1A$$ и $$O_2B$$ равен $$60^{\circ}$$, радиус $$r = 3\sqrt{2}$$ и высота цилиндра $$h = 3\sqrt{2}$$. 1. Проекция точки $$A$$ на нижнее основание цилиндра - точка $$A'$$. Тогда $$O_2A' = O_1A = r = 3\sqrt{2}$$. 2. Угол между радиусами $$O_2A'$$ и $$O_2B$$ равен $$60^{\circ}$$. 3. Рассмотрим треугольник $$O_2A'B$$. По теореме косинусов найдем $$A'B$$: $$A'B^2 = O_2A'^2 + O_2B^2 - 2 cdot O_2A' cdot O_2B cdot \cos{60^{\circ}}$$ $$A'B^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 cdot 3\sqrt{2} cdot 3\sqrt{2} cdot \frac{1}{2}$$ $$A'B^2 = 18 + 18 - 18 = 18$$ $$A'B = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABA'$$. В нем $$AA' = h = 3\sqrt{2}$$, $$A'B = 3\sqrt{2}$$. Тогда по теореме Пифагора найдем $$AB$$: $$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$$ $$AB^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36$$ $$AB = \sqrt{36} = 6$$ Ответ: 6.